Dzisiejszy wpis będzie o dwóch różnych interpretacjach prawdopodobieństwa. Ale zanim do tego dojdziemy małe wprowadzenie.
Jestem z dziećmi (dla ułatwienia oznaczmy je A i B) w sklepie przed półką z chrupkami. Jak to dydaktyk na wakacjach, daje dzieciom zadanie: ,,Kupię Wam dowolne płatki pod warunkiem, że oboje potwierdzicie, że właśnie te chcecie’’. Oczywiście A wybrał płatki a, a B wybrała płatki b (a jednak oznaczenia się przydały). Wiedząc, że muszą dojść do porozumienia A (starszy) zaproponował bardzo sprytne rozwiązanie – losowanie.
Jak dotąd nie było by w tym nic dziwnego, ale zgadnijcie jednak jak to losowanie wyglądało?
Otóż A wymyślił, że zamiast stosować dziecięcą wyliczankę, będzie liczył od 1 do 50. Rozpoczął: 1 – a, 2 – b, 3 – a, 4 – b, 5 – a, ….
Zamurowało mnie.
Czy to uczciwe losowanie? Czy wynik tego losowania jest losowy?
I tutaj dochodzimy do interpretacji prawdopodobieństwa. Losowość jest trudna do ogarnięcia i sprawia niemałe problemy. Ciekawie i szeroko pisał o nich np. Daniel Kahneman w swojej książce ,,Pułapki myślenia. O myśleniu szybkim i wolnym’’ a i ja coś napisałem w eseju ,,O percepcji danych”. Nie powinno nas więc dziwić, że zaproponowano wiele różnych interpretacji prawdopodobieństwa. Ciekawie są one opisane w artykule ,,Interpretations of Probability”. Z punktu widzenia statystyki głównie liczą się dwa podejścia, nazwijmy je w uproszczeniu obiektywnym (nazywanym też klasycznym lub częstościowym) i subiektywnym (nazywanym też Bayesowskim).
Podejście obiektywne zakłada istnienie pewnego mechanizmu losowego, który można wielokrotnie powtarzać i który jako wynik daje wartości z pewnego skończonego zbioru wartości (np. mechanizm losowania wskazuje płatki a albo b). Prawdopodobieństwo, to częstość z jaką dany mechanizm generuje określone wartości z tego zbioru.
Jak taka interpretacja się ma do historii z płatkami?
Ilokrotnie byśmy nie powtórzyli procedury losowania ,,do 50’’, to za każdym razem wylosujemy płatki b.
Zgodnie z tą interpretacją, prawdopodobieństwo wylosowania płatków b jest równe 100% a płatków a 0%. Koniec. Losowanie nie jest uczciwe, bo wynik jest zdeterminowany. Ale jest tutaj pewien haczyk – mianowicie ani A ani B tego wyniku nie znają, więc czy dla nich jest on zdeterminowany?
Jak ma się do tego subiektywna interpretacja prawdopodobieństwa?
W interpretacji subiektywnej nie wymaga się powtarzalności eksperymentu. Wystarczy jedno losowanie. Wprowadza się za to obserwatora, który ocenia subiektywnie prawdopodobieństwo wylosowania elementów ze zbioru. Prawdopodobieństwo, zgodnie z aksjomatami Kołmogorowa, musi być nieujemne i sumować się do 1. Prawdopodobieństwo nie jest związane wyłącznie z mechanizmem losowym, ale również z przekonaniami obserwatora. Różni obserwatorzy mogą mieć różne przekonania. Tym samym zjawiskom mogą przypisać więc różne prawdopodobieństwa.
Jak to podejście ma się do historii z płatkami?
Zarówno A jak i B uznali wybraną procedurę losowania za sprawiedliwą, a więc taką w której prawdopodobieństwo wylosowania wybranych przez nich płatków jest nie mniejsze niż konkurencyjnych. A więc ich zdaniem prawdopodobieństwo wylosowania płatków b wynosi 50%, tak samo płatków a. Inni obserwatorzy mogą mieć inne zdanie i tak na przykład ja uważam, że prawdopodobieństwo wylosowania płatków b wynosi 100%. Ale być może nauczycielka A wie, że licząc do 50, A myli się raz na 20 razy i tym samym ona uznałaby, że prawdopodobieństwo, że liczba 50 padnie przy płatkach b wynosi 95%.
Każdy z tych obserwatorów ma różne założenia a tym samym inaczej ocenia prawdopodobieństwo wystąpienia tego samego zdarzenia. Nie ma w tym nic sprzecznego, bowiem interpretacja jest subiektywna.
Ktoś zapyta, która z tych interpretacji jest lepsza?
Pewnie, gdyby jedna z nich była lepsza to nie byłoby drugiej.
Wydaje się, że interpretacja obiektywna mówi więcej, ale czy zawsze można ją zastosować?
Która z tych interpretacji jest stosowalna gdy mów się o prawdopodobieństwie opadów jutro? A gdy mówi się o prawdopodobieństwie Grexitu? Lub o zwycięstwie partii X w wyborach?
Całe te rozważania zostały sprowokowane pytaniem prof. Marka Kordosa, czy statystyka jest narzędziem do zdobywania wiedzy pełnej czy pewnej (co to takiego przeczytać można tutaj). I na ile ten subiektywizm w przypisywaniu prawdopodobieństw powinien nas martwić. No właśnie, na ile?